Question

△ABC中，角B不是最大角，A，B，C的對邊分別為a，b，c．若

3

a=2bsinA且sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形

分析：根據(jù)

3

a=2bsinA，利用正弦定理算出sinB=

3

2

，可得B=

π

3

．再由sinA、sinB、，sinC成等差數(shù)列，列式化簡可算出cos

A-C

2

=1，得到A=C，進(jìn)而得到A=B=C=

π

3

，可得△ABC是等邊三角形．

解答： 解：∵△ABC中，

3

a=2bsinA，
∴由正弦定理，得

3

sinA=2sinBsinA，
又∵△ABC中，sinA＞0，∴等式兩邊約去sinA，可得sinB=

3

2

．
∵B為三角形的內(nèi)角，且角B不是最大角，∴B=

π

3

∵sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，
∴2sinB=sinA+sinC，可得2×2sin

B

2

cos

B

2

=2sin

A+C

2

cos

A-C

2

，
∵

A+C

2

=

π

2

-

B

2

，可得sin

A+C

2

=cos

B

2

，
∴cos

A-C

2

=2sin

B

2

=2sin

π

6

=1，可得A-C=0，即A=C，
因此△ABC滿足A=B=C=

π

3

，可得△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評：本題給出三角形滿足的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀．著重考查了正弦定理、三角恒等變換公式等知識，屬于中檔題．