Question

已知圓的圓心為, 且，設(shè)為圓上任一點(diǎn),線段的垂直平分線交直線于點(diǎn).

（1）試討論動(dòng)點(diǎn)的軌跡類型；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,過上任一點(diǎn)作直線，與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，若的面積是，求直線的方程.

Answer 1

解：（1）由題

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在線段內(nèi)

∴

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸的橢圓

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上

∴

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線

（2）由（1）知時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓

∴

∴曲線的方程是

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

由消并整理成（*）

∵與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)

∴（*）方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解

∴即有

∵圓心到直線的距離為，

∴弦長(zhǎng)

點(diǎn)到直線的距離為

∴的面積為即

∴＝得 

∴

∴

當(dāng)時(shí)，代入得

當(dāng)時(shí)，代入得

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為或經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件

綜上所求直線方程為或