Question

在等比數列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃和a₅的等比中項為2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，求數列{S_n}的通項公式；
（3）當

s1

1

+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

最大時，求n的值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）根據等比數列的性質可知a₁a₅=a₃²，a₂a₈=a₅²化簡a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25得到a₃+a₅=5，又因為a₃與a₅的等比中項為2，聯立求得a₃與a₅的值，求出公比和首項即可得到數列的通項公式；
（2）把a_n代入到b_n=log₂a_n中得到b_n的通項公式，即可得到前n項和的通項s_n；
（3）把s_n代入得到

sn

n

，確定其正負，即可求n的值．

解答： 解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25
又a _n＞0，∴a₃+a₅=5  …（1分）
又a₃與a₅的等比中項為2，∴a₃a₅=4  …（2分）
而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，
∴q=

1

2

，a₁=16，∴a_n=16×（

1

2

）^n-1=2^5-n．
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n，∴b_n+1-b_n=-1，
b₁=log₂a₁=log₂16=log₂2⁴=4，
∴{b_n}是以b₁=4為首項，-1為公差的等差數列，
∴S_n=

n(9-n)

2

．…（8分）
（3）∵

sn

n

=

9-n

2

，
∴n≤8時，

sn

n

＞0，n=9時，

sn

n

=0，n＞9時，

sn

n

＜0，
∴n=8或9時，

s1

1

+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

最大…（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查前n項和的求法，解題時要認真審題，注意方法的合理運用．