Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PBD：
（Ⅱ）求直線AP與平面PDB所成角的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)E為側(cè)棱PC上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，

PE

=λ

PC

，試確定λ的值，使得二面角E-BD-P的余弦值為

6

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）求出平面PBD的一個(gè)法向量，利用向量法能求出直線AP與平面PDB所成角的正弦值．
（Ⅲ）設(shè)E（x₀，y₀，z₀），由題設(shè)知（x₀，y₀，z₀-1）=（0，2λ，-λ），求出平面EBD的法向量，由已知條件，利用向量法能確定確定λ的值，使得二面角E-BD-P的余弦值為

6

3

．

解答： （Ⅰ）證明：∵側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，
∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．
又∵∠ADC=90°，即AD⊥CD，
以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則由題意知A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0，2，0），P（0，0，1），
∴

DB

=(1，1，0)，

BC

=(-1，1，0)．
∴

DB

•

BC

=0，∴BC⊥BD．
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩DB=D，∴BC⊥平面PBD．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面PBD的一個(gè)法向量為

BC

=(-1，1，0)，
∵

PA

=(1，0，-1)，
∴cos＜

BC

，

PA

＞=

-1

2 • 2

=-

1

2

，
設(shè)直線AP與平面PDB所成角為θ，
則sinθ=

1

2

，
∴直線AP與平面PDB所成角的正弦值為

1

2

．…（7分）
（Ⅲ）解：∵

PC

=(0，2，-1)，又

PE

=λ

PC

，
設(shè)E（x₀，y₀，z₀）
則（x₀，y₀，z₀-1）=（0，2λ，-λ）
∴E（0，2λ，1-λ），

DE

=(0，2λ，1-λ)．…（8分）
設(shè)平面EBD的法向量為

n

=(a，b，c)，
∵

DB

=(1，1，0)，由

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
得

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

，…（9分）
令a=-1，則可得平面EBD的一個(gè)法向量為

n

=(-1，1，

2λ

λ-1

)，…（10分）
∵二面角E-BD-P的余弦值為

6

3

，
∴

6

3

=|

n • BC

| n |•| BC |

|=

2

2 • 1+1+( 2λ λ-1 )2

，…（11分）
解得λ=

1

3

或λ=-1，…（12分）
又由題意知λ∈（0，1），∴λ=

1

3

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的證明，考查參數(shù)的確定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．