Question

已知平面向量

a

=（

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

且

x

⊥

y

．
（1）試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）；
（2）若t∈（0，+∞）時(shí)，不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積關(guān)系即可試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）；
（2）利用參數(shù)分離法將不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由題知：|

a

|=2，|

b

|=1，

a• b

=0-----------------------（2分）
∵

x

⊥

y

，則

x

•

y

=[

a

+(t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0，
整理可得：-k

a

2+t

a

•

b

-k(t2-3)

a

•

b

+t(t2-3)

b

2=-k

a

2+t(t2-3)

b

2=-4k+t(t2-3)=0，
∴k=

1

4

t(t2-3)(t≠0)．
（2）∵當(dāng)t∈(0，+∞)時(shí)，不等式k≥

1

2

t2+

1

4

mt恒成立
∴

1

4

t(t2-3)≥

1

2

t2+

1

4

mt在t∈(0，+∞)上恒成立
即m≤t²-2t-3=（t-1）²-4在t∈（0，+∞）上恒成立，
∴m≤-4，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)恒成立問題已經(jīng)數(shù)量積的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法是解決函數(shù)恒成立問題的基本方法．