棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點．
①求證：AE⊥DA1；
②求異面直線AE與CC1所成的角的正弦值．
考點：異面直線及其所成的角
專題：空間角
分析：（1）連接AD1，DA1，則AD1⊥DA1，從而得到A1D⊥面AED1，由此能證明AE⊥DA1．
（2）由AA1∥CC1，知異面直線AE與CC1所成的角的平面角為∠EAA1，由此能求出異面直線AE與CC1所成的角的正弦值．
解答： （1）證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
連接AD1，DA1，則AD1⊥DA1，
∵C1D1⊥面AA1D1D，
∴ED1⊥DA1，∴A1D⊥面AED1，
∴AE⊥DA1．（6分）
（2）解：∵AA1∥CC1，
∴異面直線AE與CC1所成的角的平面角為∠EAA1，
在Rt△EA1A中，∵AE=3，A1E=
5
，
∴sin∠EAA1=
A1E
AE
=
5
3
，
∴異面直線AE與CC1所成的角的正弦值為
5
3
．（12分）
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生5名，外科醫(yī)生4名，現(xiàn)要派4名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，
（1）一共有多少種選法？
（2）其中某內(nèi)科醫(yī)生必須參加，某外科醫(yī)生因故不能參加，有幾種選法？
（3）內(nèi)科醫(yī)生和外科醫(yī)生都要有人參加，有幾種選法？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+
π
6
）（ω＞0），直線x=x1，x=x2是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x1-x2|的最小值為
π
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求使不等式f（x）≥
3
2
的x的取值范圍．
（3）若f（α）=
1
3
，α∈[-
π
3
，
π
6
]，求f（α+
π
6
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
a
=（
3
，1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
且
x
⊥
y
．
（1）試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）；
（2）若t∈（0，+∞）時，不等式k≥
1
2
t2+
1
4
mt恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F為拋物線E：y2=2px（P＞0）的焦點，拋物線上點G的橫坐標(biāo)為2，且滿足|GF|=3．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）M點的坐標(biāo)為（2，0），過點F作斜率為1K的直線與拋物線交于A、B兩點，A、B兩點的橫坐標(biāo)均不為2，連結(jié)AM、BM并延長交拋物線于C、D兩點，設(shè)直線CD的斜率為k2，判斷
k1
k2
是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知方程x2-（bcosB）x+acosA=0的兩根之積等于兩根之和，其中a、b為△ABC的兩邊，A、B為兩內(nèi)角，試判斷三角形形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若正數(shù)a，b滿足
1
a
+
1
b
=1，則
1
a-1
+
9
b-1
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法種數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z=
1+i
1-i
（i是虛數(shù)單位），則
.
z
=
 
．

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同步練習(xí)冊答案