Question

已知如圖，△ABC是邊長為1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=

6

4

，A點關(guān)于平面PBC的對稱點為A′，連線AA′交面PBC于O點．
（Ⅰ）求證：PO⊥BC；
（Ⅱ）求線段AA′的長度；
（Ⅲ）求二面角A′-AB-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì),點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明PO⊥BC，只需證明BC⊥平面PAE，只需證明BC⊥AO，BC⊥PA；
（Ⅱ）先求AE，再在Rt△PAE中，利用等面積法可求線段AA′的長度；
（Ⅲ）取AB中點為G，連A′G，CG，則∠A′GC即為二面角A'-AB-C的平面角，利用余弦定理求二面角A′-AB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由于點A，A'關(guān)于平面PBC對稱，則連線AA'⊥面PBC，
所以有BC⊥AO  ①
延長PO交BC于E，連結(jié)AE，由PA⊥平面ABC知：BC⊥PA  ②
由①②知：BC⊥平面PAE且PO?平面PAE，
所以BC⊥PO得證；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：BC⊥AE，因為AB=AC=BC=1，
所以E是BC的中點，故可求AE=

3

2

，
在Rt△PAE中，利用等面積法可求：AO=

PA•AE

PE

=

6 4 × 3 2

( 6 4 )2+( 3 2 )2

=

1

2

則AA'=2AO=1；
（Ⅲ）解：根據(jù)對稱：A′B=A′C=1，從而知A′ABC為正四面體．
取AB中點為G，連A′G，CG，則∠A′GC即為二面角A'-AB-C的平面角
在△A′GC中，A′G=CG=

3

2

，A′C=1，
由余弦定理知：cos∠A′GC=

A′G2+CG2-A′C2

2A′G•CG

=

1

3

故二面角A'-AB-C的余弦值為

1

3

．

點評：本題考查知識點較多，綜合性強，考查線面垂直的判定與性質(zhì)的運用，考查面面角，考查學(xué)生的計算能力．