Question

【題目】設整數(shù)數(shù)列{an}共有2n（）項，滿足，，且（）．

（1）當時，寫出滿足條件的數(shù)列的個數(shù)；

（2）當時，求滿足條件的數(shù)列的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）.

【解析】

（1）當確定時，可確定，再逆推可知有種取法；再依據(jù)可知各有種取法；由于與有關(guān)，當確定時，必然隨之確定，故根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得數(shù)列個數(shù)為；（2）設，且，可推得：；又，可推得：；用表示中值為的項數(shù)可知的取法數(shù)為，再任意指定的值，有種，可知數(shù)列有個；再化簡，可得最終結(jié)果.

（1）時，，且

則確定時，有唯一確定解

又，可知有種取法

若，則，則有種取法

此時，也有種取法

又，當確定時，隨之確定

故所有滿足條件的數(shù)列共有：個

滿足條件的所有的數(shù)列的個數(shù)為

（2）設，則由得

①

由得，則：

即 ②

用表示中值為的項數(shù)

由②可知也是中值為的項數(shù)，其中

所以的取法數(shù)為

確定后，任意指定的值，有種

由①式可知，應取，使得為偶數(shù)

這樣的的取法是唯一的，且確定了的值

從而數(shù)列唯一地對應著一個滿足條件的

所以滿足條件的數(shù)列共有個

下面化簡

設

兩展開式右邊乘積中的常數(shù)項恰好為

因為，又中的系數(shù)為

所以

所以滿足條件的數(shù)列共有個