Question

【題目】如圖所示的幾何體中，垂直于梯形所在的平面，為的中點(diǎn)，，四邊形為矩形，線段交于點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）在線段上存在一點(diǎn)滿足題意，且

【解析】

(1)由題意結(jié)合線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得二面角的正弦值；

(3)假設(shè)點(diǎn)Q存在，利用直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算可得點(diǎn)Q的存在性和位置.

（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，所以為的中點(diǎn).連接，

在中，分別為的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）易知兩兩垂直，如圖以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，所以.

設(shè)平面的法向量為，

則即解得

令，得

所以平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

，據(jù)此可得 ，

則平面的一個(gè)法向量為，

，于是.

故二面角的正弦值為.

（3）設(shè)存在點(diǎn)滿足條件.

由，

設(shè)，整理得，

則.

因?yàn)橹本�與平面所成角的大小為，

所以

解得，

由知，即點(diǎn)與重合.

故在線段上存在一點(diǎn)，且.