Question

已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
（1）若PD=AD，求PC與面AC所成的角
（2）求證：PC∥平面EBD
（3）求證：平面PBC⊥平面PCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，可得∠PCD是PC與面AC所成的角；
（2）連BD，與AC交于O，利用三角形的中位線，可得線線平行，從而可得線面平行；
（3）證明BC⊥平面PCD，即可證得平面PBC⊥平面PCD．

解答： （1）解：∵PD⊥平面ABCD，
∴∠PCD是PC與面AC所成的角
∵ABCD是正方形，PD=AD，
∴∠PCD=45°；
（2）證明：連BD，與AC交于O，連接EO
∵ABCD是正方形，∴O是AC的中點，
∵E是PA的中點，
∴EO∥PC
又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
∴BC⊥PD
∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD
又∵PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD
∵BC?平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．

點評：本題考查線面角、線面平行，考查面面垂直，掌握線面平行，面面垂直的判定方法是關鍵．