Question

設(shè)函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=

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與x=-1時(shí)有極值；
（1）寫出函數(shù)的解析式；
（2）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[-1，2]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x）=12x²+2ax+b，由于函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=

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與x=-1時(shí)有極值，可得

f′( 3 2 )=0 f′(-1)=0

，解得即可．
（2）分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，列出表格即可得出；
（3）利用（2）可得函數(shù)f（x）在[-1，

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)上單調(diào)遞減，在(

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，2]上單調(diào)遞增．分別計(jì)算出極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=

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2

與x=-1時(shí)有極值；
∴

f′( 3 2 )=0 f′(-1)=0

，即

27+3a+b=0 12-2a+b=0

，解得

a=-3 b=-18

．
∴f（x）=4x³-3x²-18x+5．
（2）由（1）可得f′（x）=12x²-6x-18=6（x+1）（2x-3）．
令f′（x）=0，解得x=-1或

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．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 3 2 )	3 2	（ 3 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可得：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），(

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，+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，

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)．
（3）由（2）可知：函數(shù)f（x）在[-1，

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2

)上單調(diào)遞減，在(

3

2

，2]上單調(diào)遞增．
因此當(dāng)x=

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時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，且f(

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)=-13．又f（-1）=16，f（2）=-11，∴函數(shù)f（x）的最大值為f（-1），即16．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．