【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線l與x軸交于點M,過點M的直線與拋物線交于A,B兩點,設(shè)A(x1 , y1)到準(zhǔn)線l的距離d=2λp(λ>0)

(1)若y1=d=3,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若 = ,求證:直線AB的斜率的平方為定值.

【答案】
(1)解:拋物線y2=2px的焦點F( ,0),準(zhǔn)線方程為x=﹣ ,

則|AF|=y1,可得AF⊥x軸,

則x1= ,即有d= + =3,即p=3,

則拋物線的方程為y2=6x;


(2)證明:設(shè)B(x2,y2),AB:y=k(x+ ),代入拋物線的方程,可得

k2x2+p(k2﹣2)x+ =0,

由△=p2(k2﹣2)2﹣k4p2>0,即為k2<1,

x1= ,x2= ,

由d=2λp,可得x1+ =2λp,

= ,M(﹣ ,0),

可得x1+ =λ(x2﹣x1),

即有2p=x2﹣x1= ,

解得k2=

故直線AB的斜率的平方為定值.


【解析】(1)求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程,由題意可得AF⊥x軸,即有p=3,進而得到拋物線的方程;(2)設(shè)B(x2 , y2),AB:y=k(x+ ),代入拋物線的方程,可得x的方程,運用判別式大于0和求根公式,運用向量共線的坐標(biāo)表示,可得2p=x2﹣x1 , 解方程即可得到所求定值.

練習(xí)冊系列答案
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t()

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y()

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

0.99

1.5

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)yf(t)的函數(shù)表達式;

(2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)的上午8:00時至晚上20:00時之間,有多少時間可供沖浪者進行運動?

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【題目】某同學(xué)在研究函數(shù)(x∈R)時,分別給出下面幾個結(jié)論:

①函數(shù)f(x)是奇函數(shù);②函數(shù)f(x)的值域為(-1,1);③函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);其中正確結(jié)論的序號是

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

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【題目】某服裝廠生產(chǎn)一種服裝,每件服裝成本為40元,出廠單價定為60元,該廠為鼓勵銷售商訂購,規(guī)定當(dāng)一次訂購量超過100件時,每多訂購一件,訂購的全部服裝的出廠單價就降低元,根據(jù)市場調(diào)查,銷售商一次訂購不會超過600.

1設(shè)一次訂購件,服裝的實際出廠單價為元,寫出函數(shù)的表達式;

2當(dāng)銷售商一次訂購多少件服裝時,該廠獲得的利潤最大?其最大利潤是多少?

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A. 平面

B. 三棱錐的體積為

C. 直線與平面所成角的正切值為

D. 異面直線所成角的余弦值為

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