【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）直線上的點(diǎn)滿足．過點(diǎn)作直線垂直于線段交于點(diǎn)．

（�。┳C明：恒過定點(diǎn)；

（ⅱ）設(shè)線段交于點(diǎn)，求四邊形的面積．

【答案】（1）（2）（�。┳C明見解析；（ⅱ）.

【解析】

（1）設(shè)，則，根據(jù)向量關(guān)系坐標(biāo)化可得，消去可得軌跡的方程；

（2）（�。┰O(shè)，根據(jù)直線垂直，向量的數(shù)量積為0可得：，設(shè)直線方程為，化簡(jiǎn)即可得到直線過定點(diǎn)坐標(biāo)；

（ⅱ）根據(jù)直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式求出，，再根據(jù)對(duì)角線相乘的半，求得四邊形的面積.

（1）設(shè)，則

∵，又，，

∴

又，∴，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為

（2）（�。┰O(shè)，

∵，∴

又，∴ ①

又直線過點(diǎn)且垂直于線段，故設(shè)直線方程為

化簡(jiǎn)得，又由①式可得，所以恒過定點(diǎn)

（ⅱ）直線為，交圓于兩點(diǎn)

則圓心到直線的距離為，

∴弦長(zhǎng)，

又直線為，由得，

故，

∴，即四邊形的面積

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某便利店統(tǒng)計(jì)了今年第一季度各個(gè)品類的銷售收入占比和凈利潤(rùn)占比，并將部分品類的這兩個(gè)數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計(jì)圖（注：銷售收入占比，凈利潤(rùn)占比，凈利潤(rùn)銷售收入成本各類費(fèi)用），現(xiàn)給出下列判斷：

①該便利店第一季度至少有一種品類是虧損的；

②該便利店第一季度的銷售收入中“生鮮類”貢獻(xiàn)最大；

③該便利店第一季度“非生鮮食品類”的凈利潤(rùn)一定高于“日用百貨”的銷售收入；

④該便利店第一季度“生鮮類”的銷售收入比“非生鮮食品類”的銷售收入多.

則上述判斷中正確的是（ ）

A.①②B.②③C.①④D.③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點(diǎn)是軸下方（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)、滿足，，其中為常數(shù)，且、兩點(diǎn)均在上，弦的中點(diǎn)為．

（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，求弦所在的直線方程；

（2）在（1）的條件下，如果過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)，求證：若和的斜率都存在，則與的交點(diǎn)在直線上；

（3）若直線交拋物線于點(diǎn)，求證：線段與的比為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的焦距是，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)3倍，任作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（如圖所示），且點(diǎn)在直線的左上方.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求的面積；

（3）證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．若將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，得曲線．

（1）寫出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)， 直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線C：上的一點(diǎn)，過P作互相垂直的直線PA，PB．與拋物線C的另一交點(diǎn)分別是A，B.

（1）若直線AB的斜率為，求AB方程；

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求△PAB的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，圓錐的底面半徑為2，是圓周上的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓周上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)()，是母線的中點(diǎn)，已知當(dāng)時(shí)，與底面所成角為.

（1）求該圓錐的側(cè)面積；

（2）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，，且的離心率為，拋物線，點(diǎn)在上．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作的切線，若，直線與交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．

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