Question

16．設(shè)函數(shù)h（x）=x²-mx，g（x）=lnx．
（Ⅰ）設(shè)f（t）=m${∫}_{\frac{π}{2}}^{t}$（sinx+cosx）dx且f（2016π）=2，若函數(shù)h（x）與g（x）在x=x₀處的切線平行，求這兩切線間的距離；
（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用定積分的運(yùn)算法則和三角函數(shù)的特殊值，可得m=-1，分別求出g（x），h（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，再由兩直線平行間的距離，計(jì)算即可得到所求；
（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即為x²-mx-lnx≥0，由x＞0，可得m≤x-$\frac{lnx}{x}$，設(shè)F（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)，討論x＞1，0＜x＜1導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷單調(diào)性，可得最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（t）=m${∫}_{\frac{π}{2}}^{t}$（sinx+cosx）dx=m（sinx-cosx）|${\;}_{\frac{π}{2}}^{t}$
=m[（sint-cost）-（1-0）]=m（sint-cost-1），
f（2016π）=2，可得m（-1-1）=2，
解得m=-1，
則h（x）=x²+x的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=2x+1，
g（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$，
由題意可得2x₀+1=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得x₀=$\frac{1}{2}$（-1舍去），
即有h（x）在x=$\frac{1}{2}$處的切線的方程為y-$\frac{3}{4}$=2（x-$\frac{1}{2}$），即為2x-y-$\frac{1}{4}$=0；
g（x）在x=$\frac{1}{2}$處的切線的方程為y-ln$\frac{1}{2}$=2（x-$\frac{1}{2}$），即為2x-y-1-ln2=0．
則兩切線間的距離為d=$\frac{|1+ln2-\frac{1}{4}|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{（3+4ln2）\sqrt{5}}{20}$；
（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，
即為x²-mx-lnx≥0，由x＞0，可得m≤x-$\frac{lnx}{x}$，
設(shè)F（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，F(xiàn)′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減．
即有x=1處取得極小值，且為最小值1，
則有m≤1，即m的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．