Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ+cosθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t為常數(shù)）．當(dāng)曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為$\left\{{t\left|{1-\sqrt{2}＜t≤1+\sqrt{2}或t=-\frac{5}{4}}\right.}\right\}$．

Answer 1

分析 把參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，當(dāng)直線N過點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，1）時(shí)滿足要求，此時(shí)t=$\sqrt{2}$+1．當(dāng)直線N過點(diǎn)B（-$\sqrt{2}$，1）時(shí)，此時(shí)t=-$\sqrt{2}$+1．當(dāng)直線和拋物線相切時(shí)，聯(lián)立聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-1}\\{x+y-t=0}\end{array}\right.$，由△=0求得t，數(shù)形結(jié)合求得t的取值范圍．

解答 解：∵曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ+cosθ}\\{y=sin2θ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴x²=（sinθ+cosθ）²=1+2sin2θ=1+y，
即 x²=1+y，
∴曲線M的參數(shù)方程y=x²-1．x∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]表示一段拋物線
曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t為常數(shù)）．
∴$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}t$，∴ρsinθ+ρcosθ=t，
化為直角坐標(biāo)方程為 x+y-t=0．
由曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，若曲線M，N只有一個(gè)公共點(diǎn)，
則當(dāng)直線N過點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，1）時(shí)滿足要求，此時(shí)t=$\sqrt{2}$+1，
并且向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到過點(diǎn)（-$\sqrt{2}$，1）之前，
總是保持只有一個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)直線N過點(diǎn)B（-$\sqrt{2}$，1）時(shí)，此時(shí)t=-$\sqrt{2}$+1，所以-$\sqrt{2}$+1＜t≤$\sqrt{2}$+1滿足要求．
再接著從過點(diǎn)（-$\sqrt{2}$，1）開始向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到相切之前總有兩個(gè)公共點(diǎn)，
相切時(shí)仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-1}\\{x+y-t=0}\end{array}\right.$有唯一解，即 x²+x-1-t=0 有唯一解，
故有△=1+4+4t=0，解得t=-$\frac{5}{4}$．
$\left\{{t\left|{1-\sqrt{2}＜t≤1+\sqrt{2}或t=-\frac{5}{4}}\right.}\right\}$．
故答案為：$\left\{{t\left|{1-\sqrt{2}＜t≤1+\sqrt{2}或t=-\frac{5}{4}}\right.}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．