Question

20．（1）若（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ開式中第3項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式中x^-2系數(shù)．
（2）若將函數(shù)f（x）=x⁵表示為f（x）=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵，求a₃．
（3）已知（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，求該展開式中x²的系數(shù)．

Answer 1

分析 由條件利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得結(jié)果．

解答 解：（1）若（x+$\frac{1}{x}$）ⁿ開式中第3項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{6}$，∴n=8，
故展開式通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{8}^{r}$x^8-2r，令8-2r=-2，求得r=5，故展開式中x^-2系數(shù)為${C}_{8}^{5}$=${C}_{8}^{3}$=56．
（2）若將函數(shù)f（x）=x⁵表示為f（x）=[-1+（x+1）]⁵=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵，
∴a₃=${C}_{5}^{3}$•（-1）²=10．
（3）令x=1，可得（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（a+1）•（2-1）⁵=2，∴a=1，
故二項(xiàng)式（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵，即（x+$\frac{1}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵ ，它的通項(xiàng)公式為T_r+1=（x+$\frac{1}{x}$）•[${C}_{5}^{0}$•2⁵•x⁵-${C}_{5}^{1}$•2⁴•x³+${C}_{5}^{2}$•2³•x-${C}_{5}^{3}$•2²•x^-1+${C}_{5}^{4}$•2•x^-3-${C}_{5}^{5}$x^-5]，
求該展開式中x²的系數(shù)為-${C}_{5}^{1}$•2⁴+${C}_{5}^{2}$•2³=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．