在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=3an+λn-1,n∈N*,λ為常數(shù).

(1)若數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)λ的值;

(2)在(1)的條件下,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解:(1)由a1=2且an+1=3an+λn-1得a2=3a1+λ-1=5+λ,a3=3a2+2λ-1=5λ+14.

∵數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列,∴(a2+2)2=(a1+1)(a3+3).2分∴(λ+7)2=3(5λ+17),

整理得λ2-λ-2=0,解得λ=2或λ=-1.

當(dāng)λ=2時(shí),由an+1=3an+2n-1得an+1+n+1=3(an+n),

∴=3.又a1+1=3,

∴數(shù)列{an+n}是首項(xiàng)為3,且公比為3的等比數(shù)列.

〔或當(dāng)λ=2時(shí),由an+1=3an+2n-1得===3〕

當(dāng)λ=-1時(shí),≠常數(shù).

∴當(dāng)數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列時(shí),λ=2.

(2)由(1)可知an+n=3×3n-1=3n,∴an=3n-n.

∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(3+32+…+3n)-(1+2+…+n)=.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)cn=
3
bn•bn+1
，Sn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求使Sn＜
m
20
對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的表達(dá)式；
（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的個(gè)位數(shù)（n∈N*），若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為2011，則正整數(shù)k之值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•淮南二模）在數(shù)列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）記bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}的通項(xiàng)公式；
（3）對(duì)?k∈N+，是否總?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）計(jì)算a2，a3；
（Ⅱ）求證：{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn．

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