Question

函數(shù)y=x²-4x-4的圖象與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂，0），與直線x+1=0交于點C，記過A，B，C三點的圓為⊙P．
（1）求⊙P的方程；
（2）直線l：x+y+m=0與⊙P交于點M，N，若PM⊥PN，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出拋物線與x軸的交點AB坐標(biāo)，C的坐標(biāo)，然后求解圓⊙P的方程；
（2）直線l：x+y+m=0與⊙P交于點M，N，若PM⊥PN，判斷三角形的形狀，然后利用點到直線的距離公式得到方程求出m的值．

解答： 解：（1）y=x²-4x-4的圖象與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂，0），
則y=0時，x²-4x-4=0，解得A（2+2

2

，0），B（2-2

2

，0），
與直線x+1=0交于點C，可得C（-1，1）．
過A，B，C三點的圓為⊙P，
圓的圓心橫坐標(biāo)為2，圓心設(shè)為（2，b），
可得（2+2

2

-2）²+（0-b）²=（-1-2）²+（1-b）²，
解得b=1，（-1-2）²+（1-1）²=9，圓的半徑為：3
⊙P的方程：（x-2）²+（y-1）²=9．
（2）直線l：x+y+m=0與⊙P交于點M，N，若PM⊥PN，說明三角形PMN是等腰直角三角形，圓心到直線的距離為

2

2

r=

3 2

2

，由點到直線的距離可得：

|2+1+m|

2

=

3 2

2

，
解得m的值為：0或-6．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程的求法，考查計算能力．