Question

函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，f′（x）＜

1

2

，則不等式f（x²）＜

x2

2

+

1

2

的解集為（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x，根據(jù)已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)法，可得g（x）為減函數(shù)，進而根據(jù)f（1）=1將不等式f（x²）＜

x2

2

+

1

2

化為g（x²）＜g（1），進而x²＞1，解得答案．

解答： 解：設(shè)g（x）=f（x）-

1

2

x，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-

1

2

=1-

1

2

=

1

2

，
又∵f′（x）＜

1

2

，
∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）為減函數(shù)，
∴f（x²）＜

x2

2

+

1

2

，
即g（x²）=f（x²）-

x2

2

＜

1

2

=g（1），
∴x²＞1，
解得：x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故選：C

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造出函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x，是解答的關(guān)鍵．