【題目】已知橢圓（），的兩個焦點， ，點在此橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，設點，記直線的斜率分別為，求證： 為定值.

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】試題分析：（1）依題意， ，利用點與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直，可得 ，從而可得橢圓的方程；
（2）①當直線的斜率不存在時，求出的坐標，進而可得直線的斜率，即可求得結(jié)論；②當直線的斜率存在時，直線的方程為： ，代入，利用韋達定理及斜率公式可得結(jié)論．

試題解析：(1)根據(jù)焦點坐標得： ，而點與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直，根據(jù)橢圓的對稱性故有；所以,

故橢圓的方程為．

（2）①當直線的斜率不存在時，由，解得，不妨設， ，則為定值。

②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，將代入整理化簡得： 。

設，則，

又，所以

，

綜上為常數(shù)2.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖,直線與圓O: 且與橢圓C: 相交于A,B兩點

(1)若直線恰好經(jīng)過橢圓的左頂點,求弦長AB;

(2)設直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,判斷k1·k2是否為定值,并說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《九章算術》是我國古代一部重要的數(shù)學著作，書中給出了如下問題：“今有良馬與駑馬發(fā)長安，至齊，齊去長安一千一百二十五里.良馬初日行一百零三里，日增一十三里，駑馬初日行九十七里，日減半里，良馬先至齊，復還迎駑馬，問幾何日相逢？”其大意:“現(xiàn)有良馬和駑馬同時從長安出發(fā)到齊去，已知長安和齊的距離是里.良馬第一天走里，之后每天比前一天多走里.駑馬笫一天走里，之后每天比前一天少走里.良馬到齊后，立刻返回去迎駑馬，多少天后兩馬相遇？”在這個問題中駑馬從出發(fā)到相遇行走的路程為__________ 里.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（）的離心率為，點在橢圓上

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓上的焦點作兩條相互垂直的弦，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知的三個頂點， ， ，求：

（1）邊上的高所在直線的方程；

（2）的垂直平分線所在直線的方程；

（3）邊的中線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知的三個頂點， ， ，求：

（1）邊上的高所在直線的方程；

（2）的垂直平分線所在直線的方程；

（3）邊的中線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lg ，f（1）=0，且f（2）﹣f（ ）=lg2．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若x∈（0，+∞）時方程f（x）=lgt有解，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）﹣lg（8x+m）的無零點，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的鍥體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”已知1丈為10尺，該鍥體的三視圖如圖所示，則該鍥體的體積為（ ）

A. 10000立方尺 B. 11000立方尺 C. 12000立方尺 D. 13000立方尺

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知△ABC的三個頂點分別為A（2，3），B（1，﹣2），C（﹣3，4），求
（1）BC邊上的中線AD所在的直線方程；
（2）△ABC的面積．

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