Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-c，g（x）=

1

3

ax³⁺

1

2

bx²+cx（a，b，c∈R）．
（1）若ac＜0，求證：函數(shù)y=g（x）有極值；
（2）若a=b=0，且函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)相異交點(diǎn)，求證：c＞1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則可設(shè)為g′（x）=a（x-α）（x-β），利用零點(diǎn)存在定理，即可證明結(jié)論；
（2）記h（x）=e^x-cx-c，則h′（x）=e^x-c，由函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)相異交點(diǎn)知函數(shù)h（x）有兩互異零點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）由g（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx得g′（x）=ax²+bx+c，
∵ac＜0，∴△＞0且a≠0．   …（4分）
∴函數(shù)g′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則可設(shè)為g′（x）=a（x-α）（x-β）
∴若x₁＜α＜x₂＜β＜x₃，則g′（x₁）g′（x₂）＜0，g′（x₂）g′（x₃）＜0．
∴g（x）有極值．  …（6分）
（2）由e^x-c=cx，得e^x-cx-c=0，
記h（x）=e^x-cx-c，則h′（x）=e^x-c，
由函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)相異交點(diǎn)知函數(shù)h（x）有兩互異零點(diǎn)…（9分）
若c≤0，h（x）單調(diào)遞增，則h（x）最多1個(gè)零點(diǎn)，矛盾．  …（11分）
∴c＞0．此時(shí)，令h′（x）=0，則x=lnc．
列表：

x	（-∞，lnc）	lnc	（lnc，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）

∴h（x）_min=h（lnc）=-clnc＜0，∴c＞1．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．