Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=2x-3
（1）證明：f（x）＞g（x）；
（2）證明：（1+1×2）（1+2×3）…（1+2014×2015）＞e^2×2014-3．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值為3-e，問(wèn)題得證．
（2）由題意得得lnx＞

2x-3

x

=2-

3

x

，令x=1+n（n+1），利用放縮法加以證明．

解答： 證明：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=xlnx-2x+3，（x＞0）
∴F'（x）=lnx+1-2=lnx-1，
令F'（x）=0，解得x=e，
∴x∈（0，e），F(xiàn)'（x）＜0，
x∈（e，+∞），F(xiàn)'（x）＞0，
∴當(dāng)x=e時(shí)函數(shù)F（x）有最小值，即為F（e）=elne-2e+3=3-e＞0，
故f（x）＞g（x）．
（2）由（1）xlnx＞2x-3，
得lnx＞

2x-3

x

=2-

3

x

，
令x=1+n（n+1），
故ln[1+n(n+1)]＞2-

3

1+n(n+1)

＞2-

3

n(n+1)

，
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln(1+2014×2015)＞2×2014-3[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2014×2015

]=2×2014-3[1-

1

2015

]＞2×2014-3
即ln[（1+1×2）（1+2×3）…（1+2014×2015）]＞2×2014-3
則（1+1×2）（1+2×3）…（1+2014×2015）＞e^2×2014-3成立．   
故問(wèn)題得以證明．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)以函數(shù)的最值的關(guān)系，以及利用放縮法證明不等式成立的問(wèn)題，屬于中檔題．