Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，已知PA=AD=2AB=4，Q是線段PD上一點，PC⊥AQ．
（1）求證AQ⊥面PCD；
（2）求PC與平面ABQ所成角的正弦值大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PA⊥CD，AD⊥CD，從而CD⊥平面PAD，進而CD⊥AQ，由此能證明AQ⊥面PCD．
 （2）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PC與平面ABQ所成角的正弦值．

解答： （1）證明：∵在四棱錐P-ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，又PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又AQ?平面PAD，∴CD⊥AQ，
又PC⊥AQ，PC∩CD=C，
∴AQ⊥面PCD．
 （2）解：如圖，以A為坐標原點，
建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4）．
設Q（0，a，4-a），（0≤a≤4），則

PC

=(2，4，-4)，

AQ

=（0，a，4-a），
∵PC⊥AQ，∴

PC

•

AQ

=4a-16+4a=0，解得a=2，
設平面ABQ的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

AQ • n =2y+2z=0 AB • n =2x=0

，取z=1，得

n

=（0，-1，1），
設PC與平面ABQ所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

PC

＞|=

2 2

3

，
∴PC與平面ABQ所成角的正弦值為

2

3

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．