Question

已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．
（Ⅰ）求此幾何體的表面積；
（Ⅱ）在如圖的正視圖中，如果點(diǎn)A為所在線段中點(diǎn)，點(diǎn)B為頂點(diǎn)，求在幾何體側(cè)面上從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）幾何體是一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體，由三視圖判斷圓錐與圓柱的底面半徑與母線長(zhǎng)，根據(jù)其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和，代入公式計(jì)算；
（II）利用圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，求得EB的長(zhǎng)，再利用勾股定理求AB的圓柱面距離．

解答： 解：（Ⅰ）由三視圖知：幾何體是一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體，且圓錐與圓柱的底面半徑為2，母線長(zhǎng)分別為2

2

、4，
其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和．
S_{圓錐側(cè)}=

1

2

×2π×2×2

2

=4

2

π；
S_{圓柱側(cè)}=2π×2×4=16π；
S_圓柱底=π×2²=4π．
∴幾何體的表面積S=20π+4

2

π；
（Ⅱ）沿A點(diǎn)與B點(diǎn)所在母線剪開(kāi)圓柱側(cè)面，如圖：
則AB=

EA2+EB2

=

22+(2π)2

=2

1+π2

，
∴以從A點(diǎn)到B點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長(zhǎng)為2

1+π2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積與體積，考查了圓柱面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．