Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+x2 （a為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，討論方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)；
（3）若 a＞0，且對(duì)任意的x1 ， x2∈[1，e]，都有|f（x1）﹣f（x2）| ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣4時(shí)， ，

當(dāng) 時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0．

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為

（2）解：當(dāng)x=1時(shí)，方程f（x）=0無(wú)解．

當(dāng)x≠1時(shí)，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等價(jià)于方程 （x∈（1，e]）．

設(shè)g（x）= ，則 ．

當(dāng) 時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減，

當(dāng) 時(shí)，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增．

又g（e）=e2， ，作出y=g（x）與直線(xiàn)y=﹣a的圖像，

由圖像知：

當(dāng)2e＜﹣a≤e2時(shí)，即﹣e2≤a＜﹣2e時(shí)，方程f（x）=0有2個(gè)相異的根；

當(dāng)a＜﹣e2或a=﹣2e時(shí)，方程f（x）=0有1個(gè)根；

當(dāng)a＞﹣2e時(shí)，方程f（x）=0有0個(gè)根

（3）解：若a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，函數(shù) 在區(qū)間[1，e]上是減函數(shù)．

不妨設(shè)1≤x1≤x2≤e，

則|f（x1）﹣f（x2）| 等價(jià)于 ．

即 ，

即函數(shù) 在x∈[1，e]時(shí)是減函數(shù)．

∴ ，即 在x∈[1，e]時(shí)恒成立．

∵ 在x∈[1，e]時(shí)是減函數(shù)，∴ ．

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

【解析】（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得 ，在區(qū)間（0，+∞）上分別解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x=1時(shí)，方程f（x）=0無(wú)解．當(dāng)x≠1時(shí)，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等價(jià)于方程 （x∈（1，e]）．
設(shè)g（x）= ，則 ．分別解出g′（x）＞0與g′（x）＜0即可得出單調(diào)性，
又g（e）=e2 ， ，作出y=g（x）與直線(xiàn)y=﹣a的圖像，由圖像可知a的范圍與方程根的關(guān)系；（3）若a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，函數(shù) 在區(qū)間[1，e]上是減函數(shù)．
不妨設(shè)1≤x1≤x2≤e，則|f（x1）﹣f（x2）| 等價(jià)于 ．
即 ，即函數(shù) 在x∈[1，e]時(shí)是減函數(shù)．
可得 ，即 在x∈[1，e]時(shí)恒成立．再利用 在x∈[1，e]時(shí)是減函數(shù)，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．