Question

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，且|F1F2|=2

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，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線的實(shí)半軸之差為4，離心率之比為3：7．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的方程；
（Ⅱ）若P為雙曲線與橢圓的交點(diǎn)，求cos∠F₁PF₂．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)半焦距c=

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，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，由離心率之比求出a，進(jìn)而求出橢圓短半軸的長(zhǎng)及雙曲線的虛半軸的長(zhǎng)，寫出橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由橢圓、雙曲線的定義求出PF₁與PF₂的長(zhǎng)，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出 cos∠F₁PF₂ 的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，半焦距c=

13

，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，則雙曲線實(shí)半軸 a-4，
離心率之比為

3

7

=

13 a

13 a-4

，
∴a=7，
∴橢圓的短半軸等于

49-13

=6，
雙曲線虛半軸的長(zhǎng)為

13-9

=2，
∴橢圓和雙曲線的方程分別為：

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1．
（Ⅱ）由橢圓的定義得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由雙曲線的定義得：PF₁-PF₂=±6，
∴PF₁與PF₂中，一個(gè)是10，另一個(gè)是 4，不妨令PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2

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，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：(2

13

)2=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線標(biāo)的定義應(yīng)用和標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及利用余弦定理解三角形．