Question

13．函數(shù)y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1，x∈R
（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量的取值集合；
（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？
（3）試用“五點(diǎn)”法作出函數(shù)在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡圖．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)最大值為1，求出y的最大值，以及此時(shí)x的取值集合；
（2）先ω，再φ，后A，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可得解．
（3）列表，令 2x+$\frac{π}{6}$分別等于0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，求得對(duì)應(yīng)的x，y值，以這五對(duì)x，y值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出，用平滑曲線連接，即得它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1
=$\frac{1+cos2x}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+1
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z時(shí)，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最大值1，y取得最大值$\frac{7}{4}$；
（2）將函數(shù)y=sinx的圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位長度，再將圖象上每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍（橫坐標(biāo)不變）；最后在整體向上平移$\frac{5}{4}$個(gè)單位即可得到函數(shù)f（x）的圖象．
（3）列表：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$	0	3	0	-3	0

作圖如下：

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．