在等腰三角形ABC中，已知AC=BC=
5
，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，且AD=DB=EF=1．若
DE
•
DF
≤
25
16
，則
EF
•
BA
的取值范圍是
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，A（1，0），B（-1，0），C（0，2）．設(shè)
BE
=λ
BC
，可得
DE
=
DB
+λ
BC
=（λ-1，2λ）．
同理可得
DF
=（1-μ，2μ）．由|
EF
|=1，可得
(λ+μ-2)2+4(λ-μ)2
=1，化為5（λ2+μ2）-6λμ-4（λ+μ）+3=0．由于
DE
•
DF
≤
25
16
，可得(λ-1)(1-μ)+4λμ≤
25
16
．可得15（λ+μ）2+4（λ+μ）-32≤0，解出λ+μ的范圍，由于1≥λ，μ≥
1
2
，可得1≤λ+μ≤
4
3
．即可得出
EF
•
BA
=2（2-λ-μ）的取值范圍．
解答： 解：如圖所示，
A（1，0），B（-1，0），C（0，2）．
設(shè)
BE
=λ
BC
，則
DE
=
DB
+λ
BC
=（-1，0）+λ（1，2）
=（λ-1，2λ）．
同理可得
DF
=（1-μ，2μ）．
∵|
EF
|=1，∴
(λ+μ-2)2+4(λ-μ)2
=1，
化為5（λ2+μ2）-6λμ-4（λ+μ）+3=0．
∵
DE
•
DF
≤
25
16
，
∴(λ-1)(1-μ)+4λμ≤
25
16
．
化為3λμ+λ+μ≤
41
16
．
∴15（λ+μ）2+4（λ+μ）-32≤0，
解得-
8
5
≤λ+μ≤
4
3
．
∵1≥λ，μ≥
1
2
，
解得1≤λ+μ≤
4
3
．
則
EF
•
BA
=2（2-λ-μ）的取值范圍是 [
4
3
，2]．
故答案為：[
4
3
，2]．
點評：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、不等式的解法與性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若某幾何體的三視圖如圖，該幾何體的體積為2，則俯視圖中的x=
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+
π
3
）（x∈R），有下列論斷：
①函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式可改寫為y=4cos（2x-
π
6
）；
②函數(shù)y=f（x）的最小正周期為2π；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（-
π
6
，0）對稱；
④函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=4sin2x向左平移
π
3
個單位得到；
⑤函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-
11π
12
，-
5π
12
）上單調(diào)遞減．
其中正確的是
 
．（將你認(rèn)為正確的論斷的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

由曲線y=x2-1，直線x=2和x軸所圍成的圖形的面積是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)（5x-
1
x
）n的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M-N=56，則展開式中常數(shù)項為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出一個凸10邊形及其所有對角線，在以該凸10邊形的頂點及所有對角線的交點為頂點的三角形中，至少有兩個頂點是該凸10邊形頂點的三角形有
 
個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
OA
|=1，|
OB
|=k，∠AOB=
2π
3
，點C在∠AOB內(nèi)，
OC
•
OA
=0，若
OC
=2m
OA
+m
OB
，|
OC
|=2
3
，則k=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=logm（x+1）且m＞1，a＞b＞c＞0，則
f(a)
a
，
f(b)
b
，
f(c)
c
的大小關(guān)系為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M={x|x＞1}，N={x|x2≤4}，則M∩N=（　　）
A、（1，2）
B、[1，2]
C、（1，2]
D、[-2，+∞）

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