已知F1(－2，0)，F2(2，0)，點P滿足，記點P的軌跡為E．

(1)求軌跡E的方程；

(2)若直線l過點F2且與軌跡E交于P、Q兩點．

(ⅰ)無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點M(m，0)，使MP⊥MQ恒成立，求實數(shù)m的值．

(ⅱ)過P、Q作直線的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記，求的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(1)由知，點P的軌跡E是以F1、F2為焦點的雙曲線右支，由c＝2，2a＝2，∴b2＝3，故軌跡E的方程為．……3分

　　(2)當直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，

　　∴，解得k2＞3……5分

　　(ⅰ)∵

　�。�(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)

　　＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2

　�。�．……7分

　　∵MP⊥MQ，∴，

　　故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0對任意的k2＞3恒成立，

　　∴，解得m＝－1．

　　當m＝－1時，MP⊥MQ．當直線l的斜率不存在時，由P(2，3)，Q(2，－3)及M(－1，0)知結(jié)論也成立，綜上，當m＝－1時，MP⊥MQ．……8分

　　(ⅱ)∵a＝1，c＝2，∴是雙曲線的右準線……9分

　　由雙曲線定義得：，，

　　方法一：∴

　　．……10分

　　∵k2＞3，∴，故，……11分

　　注意到直線的斜率不存在時，，此時，，

　　綜上，．……12分

　　方法二：設(shè)直線PQ的傾斜角為θ，由于直線PQ與雙曲線右支有二個交點，

　　∴，過Q作QC⊥PA，垂足為C，則，

　　∴．……10分

　　由得，，故．……12分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點P滿足|PF1|-|PF2|=2，記點P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過點F2且與軌跡E交于P、Q兩點．無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求實數(shù)m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點P滿足|PF1|-|PF2|=2，記點P的軌跡為E．求軌跡E的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）是橢圓C的兩個焦點，過F1的直線與橢圓C的兩個交點為M，N，且|MN|的最小值為6．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)A，B為橢圓C的長軸頂點．當|MN|取最小值時，求∠AMB的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點P滿足|PF1|-|PF2|=2，記點P的軌跡為E；
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）若直線l過點F2且與軌跡E交于P、Q兩點；
①設(shè)點M（m，0），問：是否存在實數(shù)m，使得直線l繞點F2無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有
MP
•
MQ
=0成立？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由；
②過P、Q作直線x=
1
2
的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ=
|PA|+|QB|
|AB|
，求λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-
2
，0），F(xiàn)2（
2
，0），點P滿足|PF1|+|PF2|=2
3
，記點P的軌跡為E
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)軌跡E與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點M，N．已知A（0，-1），當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案