Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，PA=AB=BC=

1

2

AD=1．
（1）求PB與CD所成的角；
（2）求直線PD與平面PAC所成的角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，由已知條件推導(dǎo)出∠PBE即為PB與CD所成的角，由此能求出PB與CD所成的角．（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PD與平面PAC所成角的余弦值．

解答： 解：（1）取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，
則△ABE，△PAE，△PAB都是兩直角邊為1的等腰直角三角形，
∴PB=BE=PE=

2

，
∵BE∥CD，
∴∠PBE即為PB與CD所成的角，
∵PB=BE=PE，
∴∠PBE=60°，
∴PB與CD所成的角為60°． 
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，
建立如圖所示的坐標(biāo)系．
則P（0，0，1），B（1，0，0），
C（1，1，0），E（0，1，0）

DP

=（0，-2，1），

BE

=（-1，1，0），
由（1）知

BE

即為平面PAC的一個(gè)法向量，
∴cos＜

BE

，

DP

＞=-

10

5

，
設(shè)PD與平面PAC所成角為θ，
cosθ=

1-(- 10 5 )2

=

15

5

，
∴PD與平面PAC所成角的余弦值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．