Question

求函數(shù)y=

x2+x+2

2x2+2x+1

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將原函數(shù)整理成關(guān)于x的方程得：（2y-1）x²+（2y-1）x+y-2=0，該方程有解：若2y-1=0，求出y驗(yàn)證上面方程是否有解；若2y-1≠0，上面方程是關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，所以△≥0，解該不等式便可得到y(tǒng)的范圍，綜合以上兩種情況即可求出函數(shù)y的值域．

解答： 解：由原函數(shù)得：
2yx²+2yx+y=x²+x+2，整理成：（2y-1）x²+（2y-1）x+y-2=0，∴可將該式看成關(guān)于x的方程，方程有解；
若2y-1=0，即y=

1

2

，帶入上面方程得：-

3

2

=0，∴y≠

1

2

；
若y≠

1

2

，上面的方程可以看成關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，所以：
△=（2y-1）²+8（2y-1）≥0，解得y≤-

7

2

，或y≥

1

2

；
∵y≠

1

2

，∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?span id="vbwkbfj" class="MathJye">(-∞，-

7

2

]∪(

1

2

，+∞)．

點(diǎn)評：考查將函數(shù)整理成關(guān)于x的方程，根據(jù)方程有解求值域的方法，一元二次方程的解和判別式△的關(guān)系．