Question

11．已知正數(shù)x，y滿足x+y=4，求（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²的最小值．

Answer 1

分析 利用a²+b²≥$\frac{{（a+b）}^{2}}{2}$，求出代數(shù)式（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²的最小值．

解答 解：∵a²+b²≥2ab，
∴2（a²+b²）≥a²+b²+2ab=（a+b）²，
∴a²+b²≥$\frac{{（a+b）}^{2}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立；
∴${（x+\frac{1}{x}）}^{2}$+${（y+\frac{1}{y}）}^{2}$≥$\frac{1}{2}$${（x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}）}^{2}$
=$\frac{1}{2}$${（4+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）}^{2}$
=$\frac{1}{2}$${（4+\frac{x+y}{xy}）}^{2}$
=$\frac{1}{2}$${（4+\frac{4}{xy}）}^{2}$
=8${（1+\frac{1}{xy}）}^{2}$；
又x+y=4，∴xy≤${（\frac{x+y}{2}）}^{2}$=4，
即當(dāng)x=y=2時(shí)，xy取得最大值4；
∴${（x+\frac{1}{x}）}^{2}$+${（y+\frac{1}{y}）}^{2}$≥8×${（1+\frac{1}{4}）}^{2}$=$\frac{25}{2}$，
即（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²的最小值是$\frac{25}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的靈活應(yīng)用問題，是綜合性題目．