Question

【題目】定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），
（1）求f（0）的值；
（2）求證：對(duì)任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閷?duì)任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），所以令a=b=0，則有f（0）=f（0）f（0），又f（0）≠0，所以f（0）=1
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=1，所以只需證明當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0即可．

當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，f（0）=f（x）f（﹣x），因?yàn)閒（﹣x）＞1，所以0＜f（x）＜1，

故對(duì)任意的x∈R，恒有f（x）＞0

（3）是增函數(shù)，證明如下

設(shè)x1＜x2，則x2﹣x1＞0，

f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x1）=[f（x2﹣x1）﹣1]f（x1），

由題意知f（x2﹣x1）＞1，f（x1）＞0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．

所以f（x）在R上為增函數(shù)

【解析】（1）利用賦值思想即可得到結(jié)論；（2）由于當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=1，當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，f（0）=f（x）f（﹣x），利用互為倒數(shù)可知，結(jié)論成立；（3）利用單調(diào)性的定義，作差，然后判定與零的大小關(guān)系得到，注意結(jié)合題中的關(guān)系式的變換得到．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大�。虎圩鞑畋容^或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．