Question

【題目】定義在R上的函數y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），
（1）求f（0）的值；
（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）判斷f（x）的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為對任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），所以令a=b=0，則有f（0）=f（0）f（0），又f（0）≠0，所以f（0）=1
（2）證明：當x＞0時，f（x）＞1，當x=0時，f（0）=1，所以只需證明當x＜0時，f（x）＞0即可．

當x＜0時，﹣x＞0，f（0）=f（x）f（﹣x），因為f（﹣x）＞1，所以0＜f（x）＜1，

故對任意的x∈R，恒有f（x）＞0

（3）是增函數，證明如下

設x1＜x2，則x2﹣x1＞0，

f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x1）=[f（x2﹣x1）﹣1]f（x1），

由題意知f（x2﹣x1）＞1，f（x1）＞0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．

所以f（x）在R上為增函數

【解析】（1）利用賦值思想即可得到結論；（2）由于當x＞0時，f（x）＞1，當x=0時，f（0）=1，當x＜0時，﹣x＞0，f（0）=f（x）f（﹣x），利用互為倒數可知，結論成立；（3）利用單調性的定義，作差，然后判定與零的大小關系得到，注意結合題中的關系式的變換得到．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．