Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（1）求證：當a＞0時，對任意x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]；
（2）如果對任意x∈[0，1]都有|f（x）|≤1，試求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用作差法即可證明不等式f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的最值即可求實數(shù)a的范圍．

解答： 解：（1）對任意x₁，x₂∈R，∵a＞0，
∴[f（x₁）+f （x₂）]-2 f（

x1+x2

2

)=a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2-2[a（

x1+x2

2

)2+

x1+x2

2

）]
=ax_2+a

x

2 2

-

1

2

a(

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x 2)=

1

2

a(x1-x2)2≥0．
∴f（

x1+x2

2

)≤

1

2

[f （x₁）+f（x₂）]
（2）由|f（x）|≤1?-1≤f（x）≤1?-1≤ax²+x≤1．（*）
當x=0時，a∈R；當x∈（0，1]時，（*），
即

ax2≥-x-1 ax2≤-x+1恒成立

即

a≥- 1 x2 - 1 x =-( 1 x + 1 2 )2+ 1 4 a≤ 1 x2 - 1 x =( 1 x - 1 2 )2- 1 4 恒成立.

，
∵x∈（0，1]，∴

1

x

≥1．
∴當

1

x

=1時，-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

，取得最大值是-2；
當

1

x

=1時，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

取得最小值是0．
∴-2≤a≤0，結(jié)合a≠0，得-2≤a＜0．
綜上，a的范圍是[-2，0）

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用作差法進行不等式的證明，考查學生的運算能力．