Question

如圖，在三棱錐P-ABC中PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．設M是底面三角形ABC內(nèi)一動點，定義：f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PAC的體積．若f(M)=(

1

2

，2x，y)，且

1

x

+

a

y

≥8恒成立，則正實數(shù)a的最小值是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：不等式的解法及應用,空間位置關系與距離

分析：在三棱錐P-ABC中PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．可得三棱錐的體積VP-ABC=

1

3

SPAB•PC=1．得到4x+2y=1．利用基本不等式可得

1

x

+

a

y

=(4x+2y)(

1

x

+

a

y

)=4+2a+

2y

x

+

4ax

y

≥4+2a+4

2a

，當且僅當y=2

a

x取等號．又

1

x

+

a

y

≥8恒成立，4+2a+4

2a

≥8，解得a≥6-4

2

．

解答： 解：在三棱錐P-ABC中PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．
∴VP-ABC=

1

3

SPAB•PC=

1

3

×

1

2

×3×2×1=1．
∴

1

2

+2x+y=1，化為4x+2y=1．
∵a＞0，x＞0，y＞0．
∴

1

x

+

a

y

=(4x+2y)(

1

x

+

a

y

)=4+2a+

2y

x

+

4ax

y

≥4+2a+2

2y x × 4ax y

=4+2a+4

2a

，當且僅當y=2

a

x取等號．
又

1

x

+

a

y

≥8恒成立，∴4+2a+4

2a

≥8，解得a≥6-4

2

．
故a的最小值是6-4

2

．
故答案為：6-4

2

．

點評：本題考查了三棱錐的體積、基本不等式的性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化，屬于難題．