Question

已知拋物線x²=4y的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于A、B，過A、B分別作拋物線的兩條切線l₁，l₂，若直線l₁，l₂交于點M，則點M所在的直線為（　　）

• A、y=-4
• B、y=-2
• C、y=-1
• D、y=-

  1

  2

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標(biāo)，由斜截式寫出過焦點的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立求出A，B兩點橫坐標(biāo)的積，再利用導(dǎo)數(shù)寫出過A，B兩點的切線方程，然后整體運算可求得兩切線的交點的縱坐標(biāo)為定值-1，從而得到兩切線焦點的軌跡方程．

解答： 解：由拋物線x²=4y得其焦點坐標(biāo)為F（0，1）．
設(shè)A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），
直線l：y=kx+1，代入拋物線x²=4y得：x²-4kx-4=0．
∴x₁x₂=-4…①．
又拋物線方程為：y=

1

4

x2，
求導(dǎo)得y′=

1

2

x，
∴拋物線過點A的切線的斜率為

x1

2

，切線方程為y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁）…②
拋物線過點B的切線的斜率為

x2

2

，切線方程為y-

x22

4

=

x2

2

（x-x₂）…③
由①②③得：y=-1．
∴l(xiāng)₁與l₂的交點P的軌跡方程是y=-1．
故選：C．

點評：本題考查了軌跡方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了整體運算思想方法，是中檔題．