Question

已知函數(shù)f（x）=

1-|x-1|   ，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

，若x＞0時，f（x）≤

k

x

恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答： 作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
則f（1）=1，f（3）=

1

2

f(1)=

1

2

，f（5）=

1

2

f（3）=

1

4

f(1)=

1

4

，
f（7）=

1

2

f(5)=

1

2

×

1

4

=

1

8

，
要使x＞0時，f（x）≤

k

x

恒成立，
則f（1）≤k，且f（3）≤

k

3

，f（5）≤

k

5

，f（7）≤

k

7

，…，
即1≤k，且

1

2

≤

k

3

，

1

4

≤

k

5

，

1

8

≤

k

7

，…，
則

k≥1 k≥ 3 2 k≥ 5 4 k≥ 7 8

，解得k≥

3

2

，
即實數(shù)k的取值范圍是[

3

2

，+∞），
故答案為：[

3

2

，+∞）

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．難度較大．