Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求證： 函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）的取值范圍為；（3）的取值范圍為.

【解析】試題分析: （1）當(dāng)時(shí)， ，定義域?yàn)?/span>．判斷即可證明;

（2）由題意知， 在上恒成立，

即在上恒成立． 分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，三種情況討論可得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)， ，有唯一零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，

①若，則，因此在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，可判斷在內(nèi)最多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

②若，則，所以在上單調(diào)增，

在上單調(diào)減，而， ，

所以在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)， 再分，和兩種情況討論,可得實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析:（1）當(dāng)時(shí)， ，定義域?yàn)?/span>．

因?yàn)閷?duì)任意的，都有，

所以函數(shù)是偶函數(shù)．

（2）由題意知， 在上恒成立，

即在上恒成立．

①當(dāng)時(shí)， ，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 取得最小值，所以；

②當(dāng)時(shí)， 恒成立；

③當(dāng)時(shí)， ，

因?yàn)?/span>，所以的值域?yàn)?/span>，所以．

綜上所述， 的取值范圍為．

（3）當(dāng)時(shí)， ，有唯一零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，

①若，則，所以在上單調(diào)增，則，

因此在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，

而在內(nèi)最多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

②若，則，所以在上單調(diào)增，

在上單調(diào)減，而， ，

所以在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，

若，則，所以在上單調(diào)減，又，

此時(shí)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；

若，則，所以在上單調(diào)增，

在上單調(diào)減，

要使在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，

即，故．

綜上所述， 的取值范圍為．