【題目】如圖所示,在正方體中, 是棱的中點(diǎn).
()求直線和平面所成角的正弦值.
()在棱上是否存在一點(diǎn),使平面?證明你的結(jié)論.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)先取AA1的中點(diǎn)M,連接EM,BM,根據(jù)中位線定理可知EM∥AD,而AD⊥平面ABB1A1,則EM⊥面ABB1A1,從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影,則∠EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則EM=AD=2,BE=3,于是在Rt△BEM中,求出此角的正弦值即可.
(2)在棱C1D1上存在點(diǎn)F,使B1F平面A1BE,分別取C1D1和CD的中點(diǎn)F,G,連接EG,BG,CD1,F(xiàn)G,因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形,根據(jù)中位線定理可知EG∥A1B,從而說(shuō)明A1,B,G,E共面,則BG面A1BE,根據(jù)FG∥C1C∥B1G,且FG=C1C=B1B,從而得到四邊形B1BGF為平行四邊形,則B1F∥BG,而B1F平面A1BE,BG平面A1BE,根據(jù)線面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE.
試題解析:
()如圖(a),取的中點(diǎn),連接, ,因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),四邊形為正方形,所以,
又在正方體中, 平面,所以面,從而為直線在平面上的射影,
直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則, ,
于是在中, ,
即:直線與平面所成的角的正弦值為.
()在棱上存在點(diǎn),使平面,
事實(shí)上,如圖(b)所示,分別取和的中點(diǎn)、,連接、、、,
因,且,所以四邊形為平行四邊形,
因此,又, 分別為, 的中點(diǎn),所以,從而,這說(shuō)明, , , 共面,
所以平面,
因四邊形與,皆為正方形, 分別為和的中點(diǎn),
所以,且,
因此四邊形為平行四邊形,所以,而平面, 平面,
故平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且 a=1,B=2A,則b的取值范圍為( )
A.( , )
B.(1, )
C.( ,2)
D.(0,2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次猜獎(jiǎng)游戲中,1,2,3,4四扇門(mén)里擺放了, , , 四件獎(jiǎng)品(每扇門(mén)里僅放一件).甲同學(xué)說(shuō):1號(hào)門(mén)里是,3號(hào)門(mén)里是;乙同學(xué)說(shuō):2號(hào)門(mén)里是,3號(hào)門(mén)里是;丙同學(xué)說(shuō):4號(hào)門(mén)里是,2號(hào)門(mén)里是;丁同學(xué)說(shuō):4號(hào)門(mén)里是,3號(hào)門(mén)里是.如果他們每人都猜對(duì)了一半,那么4號(hào)門(mén)里是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿分100分)的莖葉圖如圖,其中甲班學(xué)生的平均分是85,乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83,則x+y的值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時(shí),需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí),連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示:
連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘) | 廣告播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘) | 收視人次(萬(wàn)) | |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘,廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用,表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).
(1)用,列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(2)問(wèn)電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使收視人次最多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有兩個(gè)分類變量x與y,其一組觀測(cè)值如下面的2×2列聯(lián)表所示:
y1 | y2 | |
x1 | a | 20-a |
x2 | 15-a | 30+a |
其中a,15-a均為大于5的整數(shù),則a取何值時(shí),在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為x與y之間有關(guān)系?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)三個(gè)向量: =(3,2), =(﹣1,2), =(4,1)
(1)若( +k )∥(2 ﹣ ),求實(shí)數(shù)k的值;
(2)設(shè) =(x,y),且滿足( + )⊥( ﹣ ),| ﹣ |= ,求 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,命題q:sin x+cos x>m.如果對(duì)于任意的x∈R,命題p是真命題且命題q為假命題,求m的范圍.
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【題目】(2013·湖北高考)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系,并求得回歸直線方程,分別得到以下四個(gè)結(jié)論:
①y與x負(fù)相關(guān)且=2.347x-6.423;
②y與x負(fù)相關(guān)且=-3.476x+5.648;
③y與x正相關(guān)且=5.437x+8.493;
④y與x正相關(guān)且=-4.326x-4.578.
其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
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