Question

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為BD的中點，問：在棱AA₁上是存在一點M，使平面MBD⊥平面OC₁D₁？如果存在，求出AM：MA₁的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 連接A₁C₁、MO、C₁M、AC，設(shè)正方體邊長為1，則可求AC=A₁C₁=$\sqrt{2}$，AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可證C₁O⊥BD，由面MBD⊥面OC₁D₁，可證C₁O⊥面MBD，從而可得MO²+C₁O²=C₁M²，利用勾股定理代入邊長計算即可得解．

解答 解：在棱AA₁上存在一點M，使平面MBD垂直于平面OC₁D₁．
連接A₁C₁、MO、C₁M、AC，則O是AC中點，
設(shè)正方體邊長為1，則AC=A₁C₁=$\sqrt{2}$，AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵O是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD的中點，
∴BO=DO，BC₁=DC₁，
∴C₁O⊥BD，
∵面MBD⊥面OC₁D₁，
∴C₁O⊥面MBD，
∴C₁O⊥MO，
∴MO²+C₁O²=C₁M²，
∵MO²=AM²+AO²，C₁O²=C₁C²+CO²，C₁M²=A₁C₁²+MA₁²，
∴AM²+AO²+C₁C²+CO²=A₁C₁²+MA₁²，
∴AM²+$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$=2+MA₁²，
∴AM=MA₁，
∴AM：MA₁=1．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，面面垂直性質(zhì)的應用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．