Question

在(

x

-

2

3 x

)n的展開式中，已知第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56：3．
（1）求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和及奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（2）求展開式中的所有有理項(xiàng)；
（3）求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．
注：所涉及的系數(shù)均用數(shù)字作答．

Answer 1

分析：（1）利用第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56：3，求出n的值，即可通過x=1求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和及奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（2）通過二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，利用x的指數(shù)為0，求出展開式中的所有有理項(xiàng)；
（3）通過

C 10 r 2r≥ C 10 r-1 2R-1 C 10 r 2r≥ C 10 r+1 2r+1

求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．

解答：（本題共3小題，第一小題（6分），第二小題（5分），第三小題（5分），共16分）
解：（1）由

C

4 n

(-2)4：

C

2 n

(-2)2=56：3，解得n=10…（2分）
所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（1-2）¹⁰=1…（2分）
奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2^10-1=512…（2分）
（2）因?yàn)橥��?xiàng)：Tr+1=

C

r 10

(

x

)10-r(-

2

3 x

)r=(-2)r

C

r n

x5-

5r

6

…（2分）
當(dāng)5-

5r

6

為整數(shù)，r可取0，6…（1分）
展開式是常數(shù)項(xiàng)，于是有理項(xiàng)為T₁=x⁵和T₇=13400…各（1分）
（3）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大，則

C r 10 2r≥ C r-1 10 2R-1 C r 10 2r≥ C r+1 10 2r+1

…（2分）
注：等號(hào)不寫扣（1分）
解得

r≤ 22 3 r≥ 19 3

，于是r只能為7…（2分）
所以系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T8=-15360x-

5

6

…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．