Question

已知函數(shù)f（x）=|log₂x|，正實(shí)數(shù)m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在區(qū)間[m²，n]上的最大值為2，則n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的值域與最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得0＜m＜1＜n，-log₂m=log₂n，mn=1．根據(jù)函數(shù)f（x）=|log₂x|在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得|log2m2|=2，或log₂n=2，由此求得n的值．

解答： 解：由題意可得0＜m＜1＜n，-log₂m=log₂n，∴l(xiāng)og₂mn=0，∴mn=1．
故函數(shù)f（x）=|log₂x|在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
再根據(jù)f（x）在區(qū)間[m²，n]上的最大值為2，可得|log2m2|=2，或 log₂n=2．
當(dāng)|log2m2|=2時(shí)，log2m2=-2，∴m²=

1

4

，∴m=

1

2

，∴n=

1

m

=2．
當(dāng)log₂n=2，n=4，m=

1

4

，此時(shí)，f（x）在區(qū)間[m²，n]上的最大值為|log2

1

16

|=4，不滿足條件．
綜上可得，n=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．