Question

已知向量

a

=(m，1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)．
（1）若向量

a

與向量

b

平行，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若向量

a

與向量

b

垂直，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）若

a

⊥

b

，且存在不等于零的實(shí)數(shù)k，t使得[

a

+(t2-3)

b

]⊥(-k

a

+t

b

)，試求

k+t2

t

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由平行關(guān)系可得

1

2

×1-

3

2

m=0，解方程可得；（2）由垂直關(guān)系可得

1

2

m+

3

2

×1=0，解方程可得；（3）可得此時有

a

=（-

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

），由垂直關(guān)系可得[

a

+(t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0，代入數(shù)據(jù)化簡可得k=

(t2-3)t

4

，可得

k+t2

t

=

1

4

(t2+4t-3)=

1

4

(t+2)2-

7

4

，由二次函數(shù)的知識可得答案．

解答： 解：（1）∵

a

=(m，1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，且

a

∥

b

∴

1

2

×1-

3

2

m=0，
解得m=-

3

3

；
（2）∵

a

=(m，1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，且

a

⊥

b

∴

1

2

m+

3

2

×1=0，
解得m=-

3

；
（3）由（2）可知，

a

⊥

b

時，m=-

3

，
∴

a

=（-

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

）
又∵[

a

+(t2-3)

b

]⊥(-k

a

+t

b

)，∴[

a

+(t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0，
∴-k

a

2+t（t²-3）

b

2+（t-kt²+3k）

a

•

b

=0，
代入數(shù)據(jù)可得：-4k+t（t²-3）=0
∴k=

(t2-3)t

4

，
∴

k+t2

t

=

1

4

(t2+4t-3)=

1

4

(t+2)2-

7

4

，
由二次函數(shù)的知識可知，當(dāng)t=-2時，的最小值為-

7

4

．

點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及向量的平行與垂直，以及二次函數(shù)的最值，屬中檔題．