Question

數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n²•cos

2nπ

3

（n∈N^*），其前n項和為S_n．
（Ⅰ）求a_3n-2+a_3n-1+a_3n及S_3n的表達式；
（Ⅱ）若b_n=

S3n

n•2n-1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）若c_n=

1

4S23n+1-1

，令f（n）=c₁+c₂+…+c_n，求f（n）的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a_n=n²•cos

2nπ

3

（n∈N^*），求a_3n-2+a_3n-1+a_3n及S_3n的表達式；
（Ⅱ）b_n=

S3n

n•2n-1

=

9n+4

2n

，利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）利用裂項法求和，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n=n²•cos

2nπ

3

（n∈N^*），
∴a_3n-2+a_3n-1+a_3n=-

(3n-2)2

2

-

(3n-1)2

2

+9n²=

18n-5

2

，
∴S_3n=

13

2

n+

n(n-1)

2

•

18

2

=

n(9n+4)

2

；
（Ⅱ）b_n=

S3n

n•2n-1

=

9n+4

2n

，
∴T_n=

13

2

+

22

22

+…+

9n+4

2n

，
∴

1

2

T_n=

13

22

+

22

23

+…+

9n+4

2n+1

，
兩式相減可得T_n=22-

9n+22

2n

；
（Ⅲ）S_3n+1=-

2n+1

2

，c_n=

1

4S23n+1-1

=

1

4n(n+1)

，
∴f（n）=c₁+c₂+…+c_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

），
∴

1

8

≤f（n）＜

1

4

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，考查裂項法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．