Question

將函數(shù)y=3sin（2x+φ），|φ|＜

π

2

的圖象向左平移

π

3

個得到偶函數(shù)y=f（x）的圖象．
（1）求y=f（x）解析式；
（2）求y=f（x）的最大值及單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、誘導公式求得f（x）=3cos2x．
（2）（2）由f（x）的解析式，可得它的最大值，令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．

解答： 解：（1）將函數(shù)y=3sin（2x+φ），|φ|＜

π

2

的圖象向左平移

π

3

個得到函數(shù)y=3sin[2（x+

π

3

）+φ）的圖象，
故偶函數(shù)y=f（x）=3sin（2x+

2π

3

+φ），∴

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，∴φ=-

π

6

，f（x）=3sin（2x+

2π

3

-

π

6

）=3cos2x．
（2）由f（x）=3cos2x，可得它的最大值為3，令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．

點評：本題主要考查誘導公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．