【題目】設(shè)函數(shù),,其中,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍;
(2)當(dāng),設(shè),,若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求證: .
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則有兩根,再分離參數(shù),借助導(dǎo)數(shù)研究即可;
(2)要證即證,在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,即有兩個(gè)零點(diǎn),,可得,設(shè),則,,即證,,即當(dāng)時(shí),,設(shè)函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性及函數(shù)的最值,即可得證.
解:(1),由題意可知,在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
即,只需函數(shù)和圖象有兩個(gè)交點(diǎn),
,易知在上為減函數(shù),且,
當(dāng)時(shí),,為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,為減函數(shù);
所以,所以,又當(dāng),,,,
要使在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則.
故的取值范圍為.
(2)易得,
在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且
有兩個(gè)零點(diǎn),,
則,解得
于是
又,設(shè)則,因此,
要證,即證,
即當(dāng)時(shí),,設(shè)函數(shù),,則
所以,為上的增函數(shù),又,因此
于是,當(dāng)時(shí),有,
所以,有成立,即,得證
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,O是BD的中點(diǎn),E是棱CC1上任意一點(diǎn).
(1)證明:BD⊥A1E;
(2)如果AB=2,,OE⊥A1E,求AA1的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足:
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)求的值;
(3)是否存在大于2的正整數(shù)使得?若存在,求出所有符合條件的若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,為線段的中點(diǎn),若為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不含).
(1)平面與平面是否互相垂直?如果是,請(qǐng)證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)求二面角的余弦值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用一個(gè)長(zhǎng)為,寬為的矩形鐵皮(如圖1)制作成一個(gè)直角圓形彎管(如圖3):先在矩形的中間畫一條曲線,并沿曲線剪開,將所得的兩部分分別卷成體積相等的斜截圓柱狀(如圖2),然后將其中一個(gè)適當(dāng)翻轉(zhuǎn)拼接成直角圓形彎管(如圖3)(不計(jì)拼接損耗部分),并使得直角圓形彎管的體積最大;
(1)求直角圓形彎管(圖3)的體積;
(2)求斜截面橢圓的焦距;
(3)在相應(yīng)的圖1中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,使所畫的曲線的方程為,求出方程并畫出大致圖像;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PD=,O為AC與BD的交點(diǎn),E為棱PB上一點(diǎn).
(1)證明:平面EAC⊥平面PBD;
(2)若PD∥平面EAC,求三棱錐P-EAD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面有五個(gè)命題:
①函數(shù)的最小正周期是;
②終邊在軸上的角的集合是;
③在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn);
④把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象;
⑤函數(shù)在上是減函數(shù);
其中真命題的序號(hào)是( 。
A.①②⑤B.①④C.③⑤D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),給出以下四個(gè)命題:(1)當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減且沒(méi)有最值;(2)方程一定有實(shí)數(shù)解;(3)如果方程(為常數(shù))有解,則解得個(gè)數(shù)一定是偶數(shù);(4)是偶函數(shù)且有最小值.其中假命題的序號(hào)是____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱性有如下結(jié)論:對(duì)于給定的函數(shù),如果對(duì)于任意的都有成立為常數(shù)),則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(1)用題設(shè)中的結(jié)論證明:函數(shù)關(guān)于點(diǎn);
(2)若函數(shù)既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)時(shí),,求:①的值;
②當(dāng)時(shí),的表達(dá)式.
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