已知命題p:函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a-1)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,命題q:函數(shù)g(x)=x3-ax2+3ax+1在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)既有極大值又有極小值,求使命題p、q中有且只有一個為真命題時實數(shù)a的取值范圍.
解:若命題p:函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a-1)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,為真命題
則a>-3
若命題q:函數(shù)g(x)=x3-ax2+3ax+1在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)既有極大值又有極小值,為真命題
則a<0或a>9
又∵命題p、q中有且只有一個為真命題
當(dāng)命題p真q假時,0≤a≤9
當(dāng)命題p假q真時,a≤-3
故使命題p、q中有且只有一個為真命題時實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3]∪[0,9]
分析:根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)函數(shù)的定義域,我們可以求出命題q為真命題時,參數(shù)a的取值范圍,根據(jù)函數(shù)取極值的條件,可們命題q真命題時,參數(shù)a的取值范圍,進而由命題p、q中有且只有一個為真命題,我們分命題p真q假和命題p假q真兩種情況,分類討論實數(shù)a的取值范圍,最后綜合討論結(jié)果,即可得到答案.
點評:本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用,對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)函數(shù)的定義域,導(dǎo)數(shù)法在求函數(shù)的最值的應(yīng)用,是函數(shù)問題與簡易邏輯的綜合應(yīng)用,其中在確定命題p,q為真命題時,參數(shù)a的取值范圍,難度比較大,也容易出錯.