Question

已知命題p：函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，命題q：函數(shù)g（x）=x³-ax²+3ax+1在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)既有極大值又有極小值，求使命題p、q中有且只有一個為真命題時實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：若命題p：函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，為真命題
則a＞-3
若命題q：函數(shù)g（x）=x³-ax²+3ax+1在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)既有極大值又有極小值，為真命題
則a＜0或a＞9
又∵命題p、q中有且只有一個為真命題
當命題p真q假時，0≤a≤9
當命題p假q真時，a≤-3
故使命題p、q中有且只有一個為真命題時實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-3]∪[0，9]
分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，復合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的定義域，我們可以求出命題q為真命題時，參數(shù)a的取值范圍，根據(jù)函數(shù)取極值的條件，可們命題q真命題時，參數(shù)a的取值范圍，進而由命題p、q中有且只有一個為真命題，我們分命題p真q假和命題p假q真兩種情況，分類討論實數(shù)a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，復合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的定義域，導數(shù)法在求函數(shù)的最值的應用，是函數(shù)問題與簡易邏輯的綜合應用，其中在確定命題p，q為真命題時，參數(shù)a的取值范圍，難度比較大，也容易出錯．