Question

5．設(shè)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（a，0）的直線與拋物線y²=6x相交于A，B兩點(diǎn)，若$\frac{1}{|PA{|}^{2}}+\frac{1}{|PB{|}^{2}}$為定值，則a=（　�。�

• A． 6
• B． 3
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)出過(guò)P的直線的參數(shù)方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理，由同角的平方關(guān)系，即可得到a=3．

解答 解：設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（a，0）的直線為$\left\{\begin{array}{l}{x=a+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入拋物線y²=6x，可得t²sin²θ-6tcosθ-6a=0，
即有t₁+t₂=$\frac{6cosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=-$\frac{6a}{si{n}^{2}θ}$，
則$\frac{1}{|PA{|}^{2}}+\frac{1}{|PB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}}{（{t}_{1}{t}_{2}）^{2}}$
=$\frac{\frac{36co{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ}+\frac{12a}{si{n}^{2}θ}}{\frac{36{a}^{2}}{si{n}^{4}θ}}$=$\frac{36co{s}^{2}θ+12asi{n}^{2}θ}{36{a}^{2}}$，
由題意可得，
36cos²θ+12asin²θ=36（cos²θ+sin²θ）=36，
即有a=3．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．