Question

13．已知命題p：函數(shù)f（x）=|2x+3c|在[-1，+∞）上單調(diào)遞增；命題q：函數(shù)g（x）=$\frac{cx}{{x}^{2}+1}$+2有零點
（Ⅰ）若命題p和q均為真命題，求實數(shù)c的取值范圍
（Ⅱ）是否存在實數(shù)c，使得p∧（￢q）是真命題？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先寫出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+3c}&{x≥-\frac{3c}{2}}\\{-2x-3c}&{x＜-\frac{3c}{2}}\end{array}\right.$，根據(jù)f（x）在[-1，+∞）上單調(diào)遞增即可得出c$≥\frac{2}{3}$；而g（x）=0成立，從而得到$c=-x-\frac{2}{x}$，這樣即可求得c的范圍，求得的兩個c的范圍求交集即可得出實數(shù)c的取值范圍；
（Ⅱ）由條件知，p真q假，根據(jù)上面求得的p，q為真時的c的范圍，便能求出p真q假時的c的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）①若命題p為真：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2x+3c}&{x≥-\frac{3c}{2}}\\{-2x-3c}&{x＜-\frac{3c}{2}}\end{array}\right.$；
f（x）在[-1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴$-\frac{3c}{2}≤-1$；
∴$c≥\frac{2}{3}$；
②若命題q為真：g（x）有零點；
令$\frac{cx}{{x}^{2}+1}+2=0$，則c=$-x-\frac{2}{x}$；
x＞0時，$c=-x-\frac{1}{x}=-（x+\frac{1}{x}）≤-2$，x＜0時，$c=-x-\frac{1}{x}=（-x）+\frac{1}{-x}≥2$；
∴c≤-2，或c≥2；
∴綜上得c≥2；
∴實數(shù)c的取值范圍為[2，+∞）；
（Ⅱ）若p∧（￢q）為真命題，則p真，q假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{2}{3}}\\{-2＜c＜2}\end{array}\right.$；
∴$\frac{2}{3}≤c＜2$；
即存在實數(shù)c使得p∧（￢q）是真命題，且c的取值范圍為：$[\frac{2}{3}，2）$．

點評 考查真假命題的定義，絕對值函數(shù)的判斷方法：去絕對值號，一次函數(shù)的單調(diào)性，以及基本不等式，函數(shù)零點的定義，p∧q，￢q的真假和p，q的真假的關(guān)系．