Question

5．實數(shù)x，y滿足x-3$\sqrt{x+1}$=3$\sqrt{y+2}$-y，則x+y的最小值為$\frac{9+3\sqrt{21}}{2}$，最大值為9+3$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 令a=$\sqrt{x+1}$（a≥0），b=$\sqrt{y+2}$（b≥0），則x=a²-1，y=b²-2，即為（a-$\frac{3}{2}$）²+（b-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{15}{2}$，其幾何意義為以C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）為圓心，$\frac{\sqrt{30}}{2}$為半徑的圓�。ㄎ挥诘谝幌笙蓿�，則x+y=a²+b²-3，其幾何意義是點（a，b）與原點的距離的平方與3的差．畫出圓弧，運用圓的性質(zhì)，即可計算得到最值．

解答 解：令a=$\sqrt{x+1}$（a≥0），b=$\sqrt{y+2}$（b≥0），
則x=a²-1，y=b²-2，
即有a²-1-3a=3b-（b²-2），
即為（a-$\frac{3}{2}$）²+（b-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{15}{2}$，
其幾何意義為以C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）為圓心，
$\frac{\sqrt{30}}{2}$為半徑的圓�。ㄎ挥诘谝幌笙蓿�，
則x+y=a²+b²-3，其幾何意義是點（a，b）與原點的距離的平方與3的差．
由右圖可得OA（或OB）最短，連接OC延長交圓于D，則OD最長．
則|OD|=|OC|+|CD|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{30}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{30}}{2}$；
由（a-$\frac{3}{2}$）²+（b-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{15}{2}$，令a=0（或b=0）則b=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$（或a=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$），
|OA|=|OB|=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，
則x+y的最大值為9+3$\sqrt{15}$，最小值為$\frac{9+3\sqrt{21}}{2}$．
故答案為：9+3$\sqrt{15}$，$\frac{9+3\sqrt{21}}{2}$．

點評 本題考查給出條件求最值，主要考查換元法和圓的方程的運用，考查數(shù)形結(jié)合和運算能力，屬于中檔題．